本文仅用于记录自己学习总结。记录IMU预积分推导过程，不包含具体原理。

符号表示

$R$: 表示旋转矩阵
$v$: 表示速度
$p$: 表示位移
$Exp$: 指数映射，将旋转向量映射为旋转矩阵
$\tilde{w}$: 角速度观测值
$\tilde{f}$: 加速度观测值
$b^g,b^a$: 角速度、加速度的噪声
${\eta }^{gd},{\eta }^{ad}$: 角速度、加速度的随机游走
角标 $i,j,k$: 某几个时刻(的IMU坐标系)
角标 $w$: 世界坐标系
$\Delta t,\Delta t_{ij}$: 离散时间间隔，ij之间的总时间间隔

IMU直接积分

IMU直接积分为，根据$i$时刻的角度、速度、位移，推导$j$时刻的角度、速度、位移。公式如下：

具体推导过程如下。推导过程中省略了噪声项

（1）旋转的推导

（2）速度的推导

（3）位移的积分：

预积分的全部公式：

预积分的推导过程

（1）旋转项的预积分：

（2）速度项的预积分：

（3）位移项的预积分：

小结

终于下定决心推到一遍，算是自己推出来了。虽然不太理解具体含义及操作原因，但后面慢慢来。